수학과 전공 교과과정에서 다변수함수론은 특수한 위치에 있다. 1학년 과목인 미적분학에서는 대체로 많은 내용의 기초 지식을 계산 중심으로 전달하게 된다. 미적분학은 다루는 내용이 무척 많을 뿐 아니라 1학년 학생들에게 상당한 수준의 이론적 엄밀성을 요구하는 일이 사실상 무리이므로 통상 이론보다는 개념 설명과 문제 풀이 위주로 강의하게 된다. 학생들은 이어지는 선형대수학이나 해석학에서 해당 분야의 이론적 기초를 습득하고 다양한 수학과 교과과정을 배울 수 있는 소양을 습득하게 된다. 하지만 미분방정식론이나 미분기하학, 복소함수론, 위상수학 등의 교과과정을 공부하다 보면 다변수함수에 관한 이론적 기초 또한 매우 필요하다는 것을 발견하게 된다. 이는 다변수함수론이 담당하는 중요한 역할이라고 생각된다. 하지만 일변수함수와 다변수함수의 간극이 매우 크기 때문에 일변수함수에 대한 지식을 근거로 다변수함수에 관련된 많은 주제들을 소개하고 이론적 엄밀성까지 추구하는 것은 실질적으로 매우 어렵다. 이런 이유에서 다수의 다변수함수론 교재들은 대체로 ‘다변수함수에 관한 미적분학’ 교재에 가까운 형식을 가지고 있다. 그리하여 다변수함수론을 미적분학처럼 계산과 문제 풀이 위주로 강의하게 되고 결과적으로 이후 다른 수학 전공 주제들과 유연하게 연계되기 위하여 필요한 이론적 기초를 제공하는 것은 어려워진다. 이러한 일들에 대한 저자들의 문제 의식이 이 책을 기획하게 된 출발점이다.

대개의 수학 과목과 마찬가지로 다변수함수론의 강의 목표도 크게 두 가지로 요약된다. 하나는 다변수를 다루면서 발생하는 기호의 복잡함에 익숙하도록 하여 기술적 능숙함을 습득하는 것이며, 다른 하나는 기술적 내용으로부터 구분되는 수학적 개념과 수리적 발상을 포착하도록 하는 것이다. 일변수함수론과 구별되는 다변수함수론의 개념적인 내용이라 하면 주로 평면이나 공간에서 발생하는 기하적 현상을 이해하는 것이라 할 수 있다. 학생들은 간단하고 쉬운 예들을 다루면서 발견하는 기하적, 위상적 현상들을 통하여 현대 수학의 흥미로운 세계로 첫 발을 딛게 된다. 다변수함수의 이론들이 요구하는 일정 수준의 엄밀성은 이와 같은 흥미로운 주제들이 유기적으로 연결되도록 하는 방식을 명쾌하게 이해시키기 위하여 반드시 필요하다.

저자들은 이런 관점에서 학생들과 강사들에게 도움이 될 수 있는 자료가 되도록 이 책을 집필하려고 노력하였다. 기존의 교재에는 없던 내용을 새로이 포함시킨 바는 없으나, 긴 호흡이나 견고한 준비가 필요한 증명들을 가급적 생략하지 않고 이론의 흐름에 따라 제시하였다. 또한 이론의 실제와 적용을 보여줄 수 있도록 전형적인 예들과 관련 문제들을 구성하였다.
이번 개정판에서는 다음 몇 가지 사항을 고쳤다.

■벡터의 외적에 대한 기하적인 정의를 추가했다.
■다변수함수에 대한 평균값 정리, 중간값 정리 등을 추가했다.
■역함수 정리 증명의 범위를 줄이고 필요한 설명을 보충했다.
■divergence, curl, flux 등의 물리적인 의미에 대한 해설을 추가했다.
■선적분과 면적분의 정의를 다른 관점에서 보완했다.